|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как x(t) е L + 12)(R), то имеет место разложение Фурье-Грегора [4]:
1 ?
x(t) = 2 «о +Z akck(t)+bksk(t);
2 k=1
= 2 (•+?x(t)ck (t)dt b = 2 c+?x(t)sk (t)dt « —
f+?x(< )ck (<)dt b = 2 f?x(<)'
k ~ I i Л , Pk ~ I . Л ,
P J-? 1 +1 P J-? 1 + t
ck (t) — cos 2k arctg t, sk (t) — sin 2k arctg t.
Далее пусть
1
n-1
x„-1(t) ° (Qn-1x)(t) — - «0 +Zac (t) + M (t ).
2 k—1
Интегрируя r раз по частям коэффициенты Фурье-Грегора, находим
|k"r|akI, r — 1,3,5,...;
вк — i 1 1 k — 0, n -1,
' ' |k - r\bk r — 2,4,6,...,
|k ^ r|ak ^ r — 1,3,5,...; ---
\a — i k — 1, n -1.
1 |k - r\\ I, r — 2,4,6,...,
Здесь через ak, Ък, нами обозначены коэффициенты Фурье-Грегора для функции
xp(r)(t). Таким образом,
? 1
^n2-1(x) ° I|x- xn-112,1 /(1+t2) < ZT5T(Iak|2 + bk2|) ? M2 /n2r.
к—n k
Очевидно, что x0(t) — V2M/psn(t) е 12)(M), ^x0)(t) — 0 и ^-1(x) — M/nr.
Дальнейший ход доказательства леммы 1 полностью повторяет рассуждения, проводимые при доказательстве соответствующего утверждения ([2], гл.10, §10.3, с.258-259).
Доказательство леммы 2 по сути также проводится в полной аналогии с тригонометрическим случаем ([2], §10.3). Следует лишь иметь в виду, что, интегрируя r раз по частям коэффициенты Фурье-Эрмита функции x(t) е L2 2)(R)
(•+? 2
ck — I x(t)e-' Hk (t)dt,
-?
где через Hk (t) обозначены стандартизированные многочлены Ш.Эрмита, приходим к соотношению ck — c(-r. Здесь через cj) обозначены соответствующие коэффициенты Фурье-Эрмита функции x(r). С другой стороны,
ck) — 2rk (к - 1)...(к - r + 1)ck -)r.
Далее, если
xn (t) — ZckHk (t),
k—0
то
en(x) |x- xj|2 exp(2) 0f+\_ Hn+1
Последняя оценка достигается при x0(t) —
n 2r/2(n(n - 1)...(n - r +1))1/2' Дальнейший ход рассуждений проводится в полной аналогии с [2]. Именно тот факт, что весовые классы дифференцируемых функций в весовых
|
