|
|
УДК 517 М 92
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Мухалева А. А. (кафедра высшей математики)
Уравнение y' _ f (x, y) в каждой точке (x, у) области D, в которой задана функция fx, у), определяет y'(x) - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, у), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение y' _ f (x, y) задаёт в D
поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения
(называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На первом рисунке изображено поле направлений,
определяемое уравнением y _ y - x +1, и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: y\x=XQ = Уо ¦
Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным
уравнением y' _ f (x, y), рассматривают линии уровня функции J{x, у), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.
Для примера построим изоклины уравнения y _-x. Перебираем
y
различные значения постоянной C, строим линии уровня функции f (x, y) _ -x
y
соответствующие этим значениям С (т.е. прямые — _ C), и на этих линиях
y
261
|
