|
|
УДК 517.2:53 З 34
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ОРАЗЛИЧНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССАХ
Зарипова З.Ф. (кафедра высшей математики)
В процессе изучения программного материала мы знакомим обучающихся с различными приёмами мыслительной деятельности и отрабатываем умения и навыки их применения. Уже сам процесс изучения математики приводит к умению логически, доказательно мыслить, строить и анализировать различные математические модели. Развитие мышления студентов многократно ускорится, если преподаватель, обучая математике, одновременно учит умелому применению различных мыслительных приемов. Действительно, мышление учащегося проявляется в умении анализировать, синтезировать, обобщать, конкретизировать и т.д., т.е. в умении применять различные приемы мыслительной деятельности к изучаемому материалу, к решению задач. Комплексное использование различных приемов во всевозможных комбинациях необходимо в составлении дифференциальных уравнений и решении их. Неоспоримыми возможностями в этом обладает операторный метод решения дифференциальных уравнений. Операторный метод удобен с математической точки зрения, так как дифференциальное уравнение сводится к алгебраическому уравнению относительно изображения по Лапласу. Чтобы расширить идейную часть применения операторного метода во время практических занятий целесообразно рассматривать задачи, описывающие физические процессы. Приведем примеры, иллюстрирующие операторный метод как удобный инструмент решения задачи Коши. Задача 1. Математический маятник длины l выводится из положения равновесия малыми отклонениями точки подвеса в горизонтальном направлении. Показать, что если точка подвеса переместилась на расстоянии а,
то отклонение маятника равно a(1 - cos nt), n2 = g .
Решение. По условию задачи имеем дифференциальное уравнение:
x" + n2x = an2.
Будем считать, что искомая функция x(t)является оригиналом. По правилу
дифференцирования оригинала имеем операторные равенства:
x"(t) ¦ pX (p) - x(0) = pX (p)
x"(t) ¦ p2 X (p) - px(0) - x"(0) = p2 X (p). Согласно свойству линейности и правилу дифференцирования оригинала дифференциальному уравнению будет соответствовать операторное уравнение
244
|
