|
|
А — С --S =С 1
Обозначив '' 2 г, получаем решение системы: [х = -2-0^+ С2е6'
ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОТВЕТА ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ
И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Шакиров Ф.Р., группа 37-61 (Шляхов А.Т,)
Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений т.е. соотношений., между функциями- и их производными. Вывел" дифференциальных уравнений: основан, на знании, законов изучаемых, явлений Задача-интегрирования этих уравнения - важнейшая задача математики.
Приведём- примеры составления и решения дифференциальных уравнений.
Задача.
Точка массой, равной га = 1г, движется прямолинейно, на неё действует сила, пропорцивнальная кубу времени, протекшего-е момента^ когда, скорость была V0 = l- (коэффициент пропорциональности равен k = 6*10~s—).
Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости, и времени ( коэффициент пропорциональности равен kj = 3 * Ю-3 —). Найти зависимостьекорости от времени.
Решение,-
Решение задачи- основана на 2 законе Ньютона:
~, , _ dV - dV kt3 k,vt
ma=F(t)-F„„.=*m- = ta*-Mt=>-=---^-.
Таким образом, мы перешли от физики к математике, решение физической задачи мы привели к решению дифференциального уравнения математикиу которое мы будем решать методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнени
2L +Ъ?1 = о =»-^ = -Ь* =* щ V — Ь^+ 1аС =» V¦ ~Сет? Пр**»
dt m v m 2 m
V(0)= 1.
виДе Общее решение неоднородного заданного уравнения ишем »
V=-C(t)e xm. Находим V = C(t)e *m _C(t>^-e"TS". Подставим -v и
m
исходное уравнение, получим
"itZ k t *±if k t Ь^ kta ¦ kt1 ^
Cftje'^m _с(г)^е"=ш +с(т)^е""гт = —=>C(t) =—e*» =»
ro m m m
k Г , kill k f , Ml
C(t>= — t3e7mdt =—- t2e2mi mj 2m.J
268
|
