|
|
МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
Шаяхметова И. Ф., группа 38-61 (Зарипова З.Ф.)
Важнейшие объекты алгебры и арифметики - корни из единицы, функщ. Эйлера <р(п) и функция г(л) (количество натуральных делителей числа п) встрегится нам на первых же шагах изучения многочленов деления круга.
Рассмотрим разложение на множители многочленов вида д* , Оказывается, разложение тесно связано с задачей о деление окружности на » равных частей. Именно изучение этих многочленов позволило К. Ф. Гауссу » 1796 году решить задачу о том, при каких п правильный и-угольник может был, построен циркулем и линейкой. (Например можно построить правильный 17-угольник и даже 65537-угольник.).
Разложения с целыми коэффициентами. Рассмотрим разложение многочленов: п=2, х~ -1 = (jc-iX* + l).Обозначим Ф1(х)=х-1, Ф,(х) = д: + 1. и=3, х3 -\ = (х2 + х + \) .Обозначим Ф,(х) = х2 +х+1. Многочлен Ф3 нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами. и=4, х4 -\ = {х-lX* + l)(*2 +l). Обозначим Для каждого из рассмотренных значений п многочлен1 *" -1 разлагается на неприводимые множители, только один из которых ни разу не встречался в разложениях многочленов х" -1 при т <п. Именно этот множитель обозначим через Ф„.
Оказывается число множителей, на которые можно разложить многочлен х" ~ 1, равно количеству делителей у числа
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
*{п) 1223242434 2 6 2 4 4
Всякий многочлен с целыми коэффициентами единственным с точностью до порядка сомножителей образом разлагается в произведение неприводимых многочленов с целыми коэффициентами. Для многочлена х" -1 разложение на неприводимые множители таково:
*"-1 = Пф*(*). (!)
где произведение берется по всем делителям к числа п. Степень многочлена Фл деления круга равна <р(п), где <р(п)- функция Эйлера. Данная функция, по определению, это количество натуральных чисел, превосходящих п и взаимно простых с числом п. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Разложения с комплексными коэффициентами. ^
Для того, чтобы понять как устроены многочлены Ф„ и почему их степень
функция Эйлера, потребуется разлагать х" -1 на множители с комплек
коэффициентами.
258
|
