|
|
НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Загородская Т.С. группа 48-81, Хабирова Р.И. группа 48-71 (Ларина Л.К \
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек декартовы нрямоугодьные координаты которых удовлетворяют уравнению . вида
ацх2+ а22у2 + аззг2+2ai2xy + 2a23yz+2ai3XZ-tr2ai4X+2а24У+2аз4г+а44 =0 (п в котором по крайней мере один из коэффициентов ац , ац , азз •> ai2 , a23 a отличен от нуля. Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования- координат алгебраически эквивалентны.
Л=ви-!-в»-т-Л»^ h =
«,»
«11 аа «в
«11 «а «23
«и «а «33
a L =
«в «а «II
ап
«и
и
-4-
«1? а» а» «г»
а& «2з «в «»
«13 «К
+
«S3 «14 *» «И
ап «24
«» «34
«J4 «*
Пусть S
нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант 1з равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид:
а'цх'2+ а'22У'2+а'ззг'2+ 2a'i4X-+ 2а'24У'+2а'з4г'+а-44 =0 (2) для системы координат Ох 'у 'z
Так как инвариант 1з = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (2), равно а'п • а'22 • а'зз, то один или два из коэффициентов а'п , а'22 , а'зз Р38" нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи. *%> 1°. Один из коэффициентов а'и ,а%2 , а'зз равен нулю. Ради определенное! будем считать, что а'33 = 0. Перейдем от координат х', у', z' к но координатам х, у, z по формулам:
, о,.
У +-
(3)
, Затем
Подставляя х', у' и z', найденные из (3), в левую часть (2) и заменяя шее а'ц на ац , а'22 на агг , а'34 на р и а'44 на q , получим ел уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz:
2 2
апх +аггу +2pz + q = 0
(4)
1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей
А' +
а„ 208 —у = 0
|
