|
|
объединения и т.п.); с} - стоимость одного резервного элемента у-го вида; К(Х) -вероятность безотказного функционирования обеспечиваемой системы; p/xj) -вероятность безотказного функционирования ее /-й фазы при использовании х} резервных элементов,
;>,(*> ехр(-Л,)? Л'/,!,
(=0
где Xj -интенсивность потока отказов ву'-й фазе обеспечиваемой системы.
Точное целочисленное решение задачи может быть получено методом динамического программирования [1, 2]. При наличии большого числа ограничений, в частности на суммарную массу, габариты резервных элементов и т.п., для решения эффективно использовать методы последовательного анализа вариантов [4]. Однако, как уже подчеркивалось, нас интересуют возможности получения аналитических решений. Рассмотрим один из возможных подходов к этому.
Важным для дальнейшего является исследование характера функции
1-0
Найдем приращения первого и второго порядков для р(х, х): Др(х)= ф+1,Х)- <р{х,Х) = ехр(- X)r*,/(x + l)
(-v = 0,U...); А2<р(а-) = Ар(х +1)- А(р(х) = -АX > 2, функция <р(х,х) является невогнутой, что приводит к известным трудностям при решении оптимизационных задач. Можно, однако, показать,
что функция
y{x,X)=\nv(x,X)=-X + ln[ ? X //! |
нсегда, независимо от значения параметра X, является вогнутой.
Таким образом, вводя в исходную задачу вместо уравнения (1) жвивалентное ему условие
приходим к задаче выпуклого программирования. Методы решения ее в принципе существенно проще, чем исходной задачи. В частности, для отыскания оптимального целочисленного решения можно использовать георему Куна и Таккера и следствие из нее. Положение, однако, осложняется дискретностью функций y}(ppXj), точнее, тем, что при нецелых значениях х} пи функции не определены. Поэтому представляется интересной идея использования непрерывных функций, достаточно точно аппроксимирующих \{х,х) или р(х,х). Будем аппроксимировать <р(х,Х) дважды показательной функцией
if{x, х)» (f\(x, X) = ехр[- X ехр(оя)]. (2)
103
|
