|
|
составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею, но как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами - и ошибки достигали 1/6.
ТЕОРЕМА ШТУРМА
Хамидуллин Р. группа 15-12 (ЗариповаЗ. Ф.)
Теорема Штурма: Число корней полинома f(x) в промежутке [а, Ь] равно числу перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма при х = а минус число перемен знаков при х = Ь. Предполагается, что концы промежутка не являются корнями f(x).
Последовательность f0, f,, ..:, fn Штурма полиномов, построенных для данного полинома f = f 0, удовлетворяет следующим требованиям при значениях х из данного интервала (а, Ь):
ЬПоследнй полином fn не обращается в нуль
2.Два соседних полинома не обращаются в нуль одновременно.
З.Если некоторый полином fi, 1< i < n - 1, обращается в нуль в некоторой точке х0, то соседние полиномы f^, и fi+] имеют в Хо значения противоположных знаков,
4.Произведение f0 f, меняет знак с минуса на плюс, когда х возрастая, проходит через корень полинома f0.
Тем самым ряд Штурма играет роль «счетчика» корней.
Ряд Штурма строится с помощью алгоритма Евклида, примененного к полиному. Схема удобна для понимания, когда выстраивается на основе любого числового полинома.
Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший общий делитель методом последовательного деления.
В виде формул алгоритм выглядит так:
а > b; a, b e Z
а = bq 1 + b i 0 < b i < b
b = b ,q 2+ b2 0b i = b 2q з + Ь з 0Ь2=ЬзЧ4+Ьд 0
Ь„-з = Ь„-2Яп-1 + Ьп-| 0bn.2=bn_,qn + bn 0ь n-i = bnq n+i + bn+i bn+1 = 0
Наедем числа корней фс) = Зх3 - 5х2 •+ Зх - 5. Возьмем f, (х) = /' (х) = 9х2 - 10х +3.
24
|
