|
|
ПОЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ
Калимуллин Р.Т. группа 15-12 (Зарипова З.Ф.)
Полярные координаты определяются заданием на плоскости некоторой чки О (полюса), луча ОХ (полярная ось) и масштабного отрезка гп. Кроме того, указывается стрелкой повороты луча ОХ на угол ф в положительном направлении (против часовой стрелки). Тогда противоположное направление поворота называется отрицательным. Рассмотрим примеры кривых, заданных уравнением в полярных координатах. 1 .Окружность радиуса R и центром в точке О задается уравнением r=R.
Окружность является геометрическим местом точек, удаленных от« точки О на расстоянии R. Все такие точки удовлетворяют равенству r=R. При )Том, если угол ф изменяется от 0 до +оо, то соответствующая точка на окружности движется в направлении против часовой стрелки, описывая круги. Если же угол <р изменяется от 0 до -со, то соответствующая точка описывает круги в направлении по часовой стрелке. 2.Пятилепестковая роза- кривая, заданная уравнением r=sin 5ф.
Для построения этой кривой сначала заметим, что, поскольку радиус неотрицателен, должно выполняться неравенство sin 50, решая которое находим область допустимых значений угла <р:
0<ф<я/5,2я/5<ф<Зя/5,4л/5<ф<я,6л/5^<7л/5,8л/5<ф<9л/5.
В силу периодичности функции sin 5ф (её период равен 2я/5) достаточно построить искомый график для углов ф в промежутке 0<ф<л/5,а в остальных четырёх промежутках использовать периодичность.
Итак, пусть 0<ф<7с/5.Если угол ф изменяется от нуля до тс/10, то sin 5ф изменяется от нуля до единицы и, следовательно, радиус г изменяется от нуля до единицы. Если угол изменяется от л/10 до л/5, то радиус изменяется от единицы до нуля. Таким образом, при изменении угла ф от нуля до я/5 точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка, и возвращается в начало координат.
Такие же лепестки получаются, когда угол измеряется в пределах от 2л/5 до Зя/5, от 4л/5 до л, от 6л/5 до 7я/5 и от 8л/5 до 9л/5 (рис. 1).
19
|
