|
|
Используя формулы (1)-(4), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический
параболоид по двум прямым : у = ± bx (5)
a
Из формул (2) и (4) вытекает, что прямые (5) являются асимптотами гипербол (1) и (3).
Карта гиперболического
параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Oxz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Oyz (Oxz).
Что интересно, при сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает гиперболу. В то же время, при сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.
Геометрия Лобачевского совершенно истинна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). Гиперболический параболоид играет в геометрии Лобачевского ту же роль, что плоскость в геометрии Евклида. (Например, отрезком здесь называется дуга, длина которой определяет кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности.) В каком же соотношении находятся между собой две геометрии и какую из них мы можем считать «более правильной»? Сам Лобачевский совершенно верно утверждал, что различия между его геометрией и геометрией Евклида кроются в понимании самой природы пространства. В евклидовой геометрии пространству отводится роль беспредельной и нейтральной протяженности, вместилища, в которое погружены тела. Однако Лобачевский был уверен, что наше представление о «плоском» пространстве - не более чем дань традиции, никогда не проверявшаяся опытным путем. На самом деле физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, евклидовым. Мерой отличия любого пространства от евклидова является его кривизна. В наших земных пределах этой кривизной можно пренебречь и пользоваться положениями и теоремами евклидовой геометрии. Однако при измерении беспредельных космических расстояний пренебрежение кривизной пространства может привести к серьезным ошибкам.
ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Саттарова С., Гиззатуллина Р. гр. 20-01 (Зарипова И.М.)
|
